第17讲：《函数的多项式逼近与泰勒公式》内容小结、课件与典型例题与练习

用简单函数逼近（近似表示）复杂函数是研究函数性态的重要方法，多项式是最简单的一类函数，我们研究如何用多项式逼近函数的问题。当然研究这类问题是有应用背景的，计算器还是数学软件中的函数计算，都涉及到如何近似函数的问题。还有圆周率的计算，正是因为有了这套理论，才使得计算变得简单和有效。

一、泰勒公式的意义

(1) 泰勒公式解决了用微分近似计算函数值或函数值增量精度不高的问题；(2) 提供了误差的估计公式，并可实现对误差的有效控制.

二、泰勒公式使用注意事项

(1) 函数在 处的阶导数存在，则可以写出该函数在处的次泰勒多项式，但是泰勒多项式不一定会随着的增加逐渐逼近函数在处的函数值. 比如函数该函数在原点处具有任意阶导数，且导数为零. 因此该函数的麦克劳林级数就是0.(2) 只要存在常数使当时，恒有则用次泰勒多项式来近似代替时，余项的绝对误差 随 的增大可变得任意小. 对于初等函数而言，在任意定义区间上一般都满足这个条件，所以对应的泰勒多项式都可以满足这个要求.(3) 已知函数在处阶可导，则可以在该点的邻域内写出该函数在处的阶带佩亚诺余项的泰勒公式.(4) 已知函数在一个邻域内阶可导，则可以在该点的邻域内写出该函数在处的阶带拉格朗日余项的泰勒公式.

三、泰勒中值定理与泰勒公式的应用

1、问题类型带拉格朗日余项的泰勒公式也称为泰勒中值定理，一般用于证明已知或结论中含有二阶及二阶导数、函数值、自变量值等项的等式或不等式命题，或者包含高次多项式函数的函数不等式证明等. 2、展开点选择与验证思路用泰勒中值定理证明结论，一般展开的阶数为已知可导的阶数减1，即已知函数三阶可导，则一般写函数的二阶带拉格朗日余项的泰勒公式来推导验证结论. (1) 定点展开：对于中值命题(等式、不等式)，一般在区间端点、中点展开，或者在已知了导数值的点展开，求端点或中点的函数值； (2) 动点展开：而对于函数(函数结论、导函数结论)结论的证明，则一般在动点展开，即区间内任一点展开，然后求端点或中间点的函数值； (3) 对于得到的展开式，要么直接验证得到结论；要么根据结论需求，对于得到的等式进行加减运算，消去无关项，得到可能的，应用于验证命题的结论. 【注】如果仅仅已知函数在一点n阶可导，而结论或验证过程中又需要用到该点的n阶导数值来完成验证过程，则一般将函数展开为n阶带佩亚诺余项的泰勒公式来探索解题过程. 如课件中最后一个练习.  关于泰勒公式、泰勒中值定理的应用实例思路探索与分析可以参见全国大学生数学竞赛初赛非数学解析视频课堂，主要视频有：

• 第二届第2题：基于对数函数法和麦克劳林公式计算函数极限（1个视频片段）

• 第三届第1题：函数极限计算的三类重要方法及应用实例分析（3个视频片段）

• 第三届第三题：借助带拉格朗日余项的泰勒公式证明中值等式（1个视频片段）

• 第四届第三题：借助麦克劳林公式探索方程近似解（1个视频片段）

• 第六届第三题：用泰勒公式解题的一般思路与步骤及实例分析（2个视频片段）

• 第八届第1题：函数极限计算的一般思路与方法（3个视频片段）

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参考课件

【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，或者通过公众号底部菜单 高数线代 下的 高等数学概率其他 选项，在打开的导航列表中通过“高等数学”面板查看各章节推送推文列表！

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